信賴區間寬度、信賴區間例題、信賴區間白話在PTT/mobile01評價與討論，在ptt社群跟網路上大家這樣說

: 98 年學測
: http://0rz.tw/c8H6u
: 第九題信賴區間，答案是1,2。
: 對於這題題目的詳解我已經理解，但我曾經聽說這題題目有問題，
: 也在最近兩年的參考書發現，他們都沒有收錄這題，
: 看起來似乎是因為有問題而不收錄，
: 想請問各位高手，這題題目到底哪裡有問題，謝謝！

題目:
某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比
(以下簡稱為「知名度」)。結果如下：在 95% 信心水準之下，該產品在甲、乙
兩地的知名度之信賴區間分別為 [ 0.50 , 0.58 ] 、 [ 0.08 , 0.16 ] 。
試問下列哪些選項是正確的？
(1) 甲地本次的參訪者中， 54% 的人聽過該產品
(2) 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數
(3) 此次調查結果可解讀為：甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率
大於 95%
(4) 若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有 95% 的機會落在區間
[ 0.08 , 0.16 ]
(5) 經密集廣告宣傳後，在乙地再次進行民調，並增加參訪人數達原人數的四倍，
則在 95% 信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半 (即 0.04 )


[解析]
(1)

依中學數學的信賴區間構建方式, 是 p^ ±z*se(p^),
則這個敘述是對的, 樣本比例 p^ = (0.50+0.58)/2 = 0.54 = 54%.

若非在上述信賴區間公式之下, 則此敘述不一定成立.


(2)

若信賴區間構建方式如上所言, 是 p^ ±z*se(p^), 則兩地之
z*se(p^) 相等, 且臨界值相同, 但甲地 p^=0.54 而乙地 p^=0.12.
若 se(p^) = √[p^(1-p^)/n], 則在相等樣本下, 乙地之 se 應較
小. 而所給數據兩地 se 卻相等, 因此得知乙地樣本較小.

只要兩地信賴區間採同樣方式建構, 而且是合理建構方式, 並且
se(p^) 是以樣本比例與樣本數為基礎的, 大概都可得相同結論.



(3)

"甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品" 是一個確定但未知
成立與否的敘述, 並無 "機率" 可言. 也就是說: 該敘述可能是
對的, 也可能是錯的, 但研究者並不知道它是對或錯. 然而, 這
卻不能說它對的機率是多少.

比較正確的解讀是: 我們有至少95%的信心可以說
"甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品".



(4)

乙地知名度, 這一次調查得到的的信賴區間是 [0.08,0.16].
如果重新抽樣重新做個調查, 將會得到不同信賴區間, 例如可能是
[0.10,0.19] 或 [0.05,0.12].

乙地知名度 p 是否落在 [0.08,0.16] 或其他區間, 是確定但未知
的事實, 並不因哪一次調查而不同(假設群體不變---意思是: 該產
品在乙地的知名度不變). 而且, 就 "確定" 的事實, 即使未知, 不
能談機率.

什麼是 "確定但未知", 什麼是 "隨機的"? 例如丟一個不知是否公
正的銅板, 其 "出現正面機率" 是 "確定但未知" 的; 而丟銅板結
果會出現正面或反面, 或丟數次問會出現幾次正面, 這類結果就是
"隨機的". 隨機的現象才能談機率.


本選項敘述是:
若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有 95% 的
機會落在區間 [ 0.08 , 0.16 ]

這個敘述是在說什麼? 它是說
如果做很多次抽樣調查, 得到很多 p^, 這些 p^ 有 95% 機
會落入 [0.08, 0.16].

p^ 應大約有 95% 落入
[ p-z*√[p(1-p)/n}, p+z*√[p(1-p)/n] ],
但 [0.08, 0.16] 並不是上列區間, 因為 p 並非 0.12.

因此, 這個選項的敘述仍是錯的.



(5)

即使不經 "密集廣告宣傳" 而是立即再重新抽樣, 重新調查, 樣本
數提高為4倍, 如前述公式計算的信賴區間寬度也不一定縮小為一半.
例如新調查(樣本數 4n) 可能得到樣本比例是 20%,
se(p^) = √[(0.20．0.80)/(4n)] = √[0.16/(4n)],
原調查
se(p^) = √[(0.12．0.88)/n] = √(0.1056/n),
新的信賴區間長度與原來的信賴區間長度比例是
√(0.16/4) ÷ √0.1056 ≒ 62%
雖然或許在群體不變下假設新樣本比例 p^=0.20 似乎有些誇張
(因為原調查估計 p 在 0.08 至 0.16 之間), 但一是隨機現象
很難說不可能, 再則即使 p^ 不到 0.20, 也不能保證新的信賴
區間寬度減半.

若經 "密集廣告宣傳" 而後再調查, 群體已經改變, 群體比例 p
應有所提高, 相應的樣本比例 p^ 也將提高, 例如可能得到 p^=0.4
或更高, 那麼 se(p^) 會有多大變化很難說, 因此更不能保證
"知名度之信賴區間寬度減半".


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◆ From: 111.252.121.94

推 goshfju :`推~ 09/04 19:34
→ yhliu :原先第4選項沒看清楚, 所以做了有點離題的說明. 經發 09/04 19:37
→ yhliu :現後補上正確解說; 但原說明雖離題仍有參考價值, 故 09/04 19:38
→ yhliu :保留之. 09/04 19:38
推 asdinap :機率定義的部份 如此說來 常碰到的從n袋隨機抽一球 09/04 20:49
→ asdinap :已知抽到的為x球 問此球來自某袋的機率為多少 那題目 09/04 20:50
→ asdinap :就出錯了? 因為沒有機率可言 已抽了 是確定但未知 09/04 20:51
推 rehearttw :樓上，這是貝氏定理（事後機率） 09/04 21:01
推 asdinap :我知那是貝氏定理的例題啦所以確定但未知=事後機率? 09/04 21:04
推 xydia :我也有 asdinap 的疑惑耶 09/04 22:05
→ yhliu :0從哪一袋取球是隨機的, 抽出的球色是隨機的, 已知 09/04 23:06
→ yhliu :某一隨機結果, 問另一隨機現象的機率, 當然可以. 09/04 23:07
→ yhliu :如果你如 Bayesian 一樣把 "參數" 當做隨機的, 那是 09/04 23:08
→ yhliu :可以談參數的機率分布. 然而, 那是另一套計算方法, 09/04 23:09
→ yhliu :而且, 在事實上不是隨機(如本例某一時點的 "知名度") 09/04 23:09
→ yhliu :要把它當成是隨機的, 那只能以 "主觀機率" 來討論. 09/04 23:10
→ yhliu :在中學數學談的 "信賴區間", 是 non-Bayesian 的方法 09/04 23:12
→ yhliu :在這種方法(想法), 參數(本例之 p) 是確定但未知的, 09/04 23:13
→ yhliu :因此在給定信賴區間的結果(如本例之 [0.08, 0.16]), 09/04 23:14
→ yhliu :p 是否在此區間, 是確定而未知的. 09/04 23:14
推 rehearttw :抱歉！應該是「貝士定理」 09/07 00:13
→ sneak : 在中學數學談的 "信賴 https://noxiv.com 08/13 17:04
→ sneak : 而且, 在事實上不是隨 https://daxiv.com 09/17 14:59